.

Привет! Давай разбираться с этим заданием вместе. Здесь у нас геометрическая прогрессия \( y_{n} = \frac{(2)^{n+1}}{20} \). Нужно найти сумму первых десяти членов прогрессии.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: \( S_{n} = b_{1} \times \frac{q^n - 1}{q - 1} \), где \( b_{1} \) это первый член прогрессии, а q - это знаменатель прогрессии.

В нашем случае первый член прогрессии \( b_{1} = \frac{2^2}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \), а знаменатель прогрессии \( q = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2 \).

Теперь подставим числа в формулу суммы: \( S_{10} = \frac{1}{5} \times \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = \frac{1}{5} \times (2^{10} - 1) \).

Вычислим степень и вычитание, а потом поделим на 5: \( 2^{10} = 1024 \)

Таким образом: \( S_{10} = \frac{1}{5} \times (1024 - 1) = \frac{1}{5} \times 1023 = 204,6 \).

Окончательный ответ: сумма первых десяти членов геометрической прогрессии равна \( 204,6 \).