.

Привет! Давай посмотрим, что у нас здесь на фотографии.

На доске написано несколько математических задач. Первая задача - это найти первообразную функцию \( F(x) \) для функции \( f(x) = 4x - x^2 + x^3 \).

Чтобы решить её, нужно найти антипроизводные для каждого слагаемого функции \( f(x) \) отдельно.

Для \( 4x \) антипроизводная будет \( 2x^2 \), так как интегрируя степень увеличиваем на единицу и делим на новую степень. Для \( -x^2 \) антипроизводная будет \( -\frac{x^3}{3} \), по тому же принципу. Для \( x^3 \) антипроизводная будет \( \frac{x^4}{4} \). И не забудем про константу \( C \), так как интегрирование дает семейство функций.

Итак, первообразная \( F(x) = 2x^2 - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + C \).

Вторая задача - это определенный интеграл от \( -1 \) до \( 1 \) функции \( 4x^3 - 2x \). Здесь нужно сначала найти антипроизводную функции, а потом вычислить значение интеграла.

Антипроизводная для \( 4x^3 \) будет \( x^4 \), а для \( -2x \) - \( -x^2 \). После нахождения антипроизводной, подставляем верхний и нижний пределы интегрирования и вычитаем полученные значения.

Так что \( \int_{-1}^{1} (4x^3 - 2x) dx = [x^4 - x^2]_{-1}^{1} \), что равно \( (1^4 - 1^2) - ((-1)^4 - (-1)^2) = (1 - 1) - (1 - 1) = 0 \).

Третья задача - это определенный интеграл от \( 0 \) до \( \frac{\pi}{2} \) функции \( 7\sin(x) + 4\cos(x) \). Здесь также сначала нужно найти антипроизводную, а потом вычислить разность значений в точках \( \frac{\pi}{2} \) и \( 0 \).

Антипроизводная для \( 7\sin(x) \) будет \( -7\cos(x) \), так как производная от \( \cos(x) \) это \( -\sin(x) \), а для \( 4\cos(x) \) - \( 4\sin(x) \), так как производная \( \sin(x) \) это \( \cos(x) \).

Так что \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (7\sin(x) + 4\cos(x)) dx = [-7\cos(x) + 4\sin(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \).

Подставляем пределы и получаем \( -7\cos(\frac{\pi}{2}) + 4\sin(\frac{\pi}{2}) - (-7\cos(0) + 4\sin(0)) \), что равно \( -7\cdot0 + 4\cdot1 - (-7\cdot1 + 4\cdot0) = 4 + 7 = 11 \).

Четвертая задача кажется связана с нахождением точек пересечения кривой с осями координат. Уравнение кривой \( y = x^2 + 4x + 4 \). Для нахождения точек пересечения с осью \( y \), подставляем \( x = 0 \) и находим \( y \). В этом случае, \( y = 0^2 + 4\cdot0 + 4 = 4 \). Значит, точка пересечения с осью \( y \) это \( (0, 4) \).

Для нахождения точек пересечения с осью \( x \), подставляем \( y = 0 \) и решаем уравнение \( 0 = x^2 + 4x + 4 \). Это квадратное уравнение, и его корни можно найти через дискриминант или понимание, что это квадрат бинома \( (x + 2)^2 \). Таким образом, единственная точка пересечения с осью \( x \) - это \( (-2, 0) \).