.
Привет! Давай вместе посмотрим на задания на твоём фото.
- Нужно найти общий вид первообразных для данных функций. Для этого мы будем использовать основные правила интегрирования.
(1) Первообразная для \( f(x) = x^5 \) - это функция, производная которой равна \( x^5 \). Такой функцией будет \( \frac{x^6}{6} + C \), где \( C \) — константа интегрирования.
(2) Аналогично, для \( f(x) = \frac{1}{x^3} \) первообразной будет \( -\frac{1}{2x^2} + C \).
(3) Для \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \), применяем правило почленного интегрирования: \( \int (3x^2 - 2x + 1)dx = \int 3x^2 dx - \int 2x dx + \int 1 dx \). Отсюда получаем первообразную \( x^3 - x^2 + x + C \).
(4) И для \( f(x) = e^{3x+5} \), учитывая, что производная от \( e^{u} \) есть \( e^{u} \cdot u' \), находим первообразную \( \frac{1}{3}e^{3x+5} + C \) (в данном случае \( u' = 3 \), и мы поделили на это значение, чтобы \( (e^{3x+5} \cdot 3)' = e^{3x+5} \)).
Здесь задача — найти такую первообразную \( F(x) \) функции \( f(x) = x(x^2 - 3) \), чтобы \( F(0) = 2 \). Сначала найдем общий вид первообразной, по правилу произведения \( \int x \cdot x^2 dx - \int 3x dx \), получаем \( \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + C \). Чтобы найти \( C \), подставим \( x = 0 \) и \( F(0) = 2 \): \( \frac{0}{4} - \frac{3 \cdot 0}{2} + C = 2 \), откуда \( C = 2 \).
Наконец, приступим к определенным интегралам.
(1) Интеграл \( \int_{1}^{3} x^2 dx \) вычисляется нахождением первообразной \( \frac{x^3}{3} \) и подстановкой пределов: \( \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} \).
(2) Аналогично, \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^3} dx \) вычисляется через первообразную \( -\frac{1}{2x^2} \), и подставляем пределы: \( -\frac{1}{2 \cdot 1^2} - (-\frac{1}{2 \cdot 0^2}) \), но здесь появляется проблема с делением на ноль при подстановке нижнего предела — это значит, что интеграл не существует на этом промежутке в обычном смысле, так как функция не интегрируема в нуле.
(3) Для \( \int_{0}^{\pi} \sin{2x} dx \) используем замену переменной \( u = 2x \), \( du = 2dx \), получаем \( \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \sin{u} du \), интегрируем синус и делаем обратную замену.
(4) Наконец, \( \int_{0}^{2} e^x dx \) просто вычисляется нахождением первообразной \( e^x \) и подстановкой пределов: \( e^2 - e^0 \).
Надеюсь, это поможет тебе справиться с контрольной! Если возникнут еще вопросы — обращайся. Удачи!
