.

Давай разберёмся с этими геометрическими задачами по очереди.

Задача номер 6: У нас есть отрезок \( AB = 40 \), который касается окружности радиуса \( r = 75 \) с центром в точке \( O \) в точке \( B \). Поскольку \( AB \) это касательная, то радиус \( OB \) перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому \( \triangle AOB \) прямоугольный с гипотенузой \( OA \) и катетами \( OB \) и \( AB \). Чтобы найти \( AD \), нам нужно применить теорему Пифагора. Получается:

\( OA^2 = OB^2 + AB^2 \)

\( OA^2 = 75^2 + 40^2 \)

\( OA^2 = 5625 + 1600 \)

\( OA^2 = 7225 \)

Теперь найдем \( OA \), извлекая квадратный корень:

\( OA = \sqrt{7225} \)

\( OA = 85 \)

Так как \( AD \) это диаметр окружности, он будет в два раза больше радиуса:

\( AD = 2 \cdot OA \)

\( AD = 2 \cdot 85 \)

\( AD = 170 \)

Ответ к задаче 6: \( AD \) равен 170.

Задача номер 7: Четырёхугольник \( ABCD \) вписан в окружность. Угол \( ABD \) равен 39 градусов, угол \( CAD \) равен 55 градусов. Нам нужно найти угол \( ABC \). В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов. Таким образом, мы можем вычислить угол \( ABC \), зная угол \( ADC \), равный сумме углов \( ABD \) и \( CAD \):

\( ADC = ABD + CAD \)

\( ADC = 39 + 55 \)

\( ADC = 94 \)

Теперь найдём угол \( ABC \):

\( ABC + ADC = 180 \)

\( ABC + 94 = 180 \)

\( ABC = 180 - 94 \)

\( ABC = 86 \)

Ответ к задаче 7: угол \( ABC \) равен 86 градусов.

Задача номер 8: Аналогично предыдущей задаче, в вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов. У нас дано, что угол \( ABC = 70 \) градусов и угол \( CAD = 49 \) градусов. Нам нужно найти угол \( ABD \):

\( ABD + CAD = ADC \)

Так как углы \( ABC \) и \( ADC \) противоположные, то:

\( ADC = 180 - ABC \)

\( ADC = 180 - 70 \)

\( ADC = 110 \)

Теперь можем найти угол \( ABD \):

\( ABD = ADC - CAD \)

\( ABD = 110 - 49 \)

\( ABD = 61 \)

Ответ к задаче 8: угол \( ABD \) равен 61 градус.