Реши 3, 4 задание

Привет! Давай вместе разберёмся с этими заданиями.

3 задание: нужно найти значение выражения 3sin x + 4 cos x при sin x = 1/3 и известном cos x. Подход здесь таков: используем тригонометрическую теорему Пифагора, sin^2 x + cos^2 x = 1. Отсюда cos^2 x = 1 - sin^2 x, и поскольку sin x нам известен, можно найти cos x.

\( cos^2 x = 1 - sin^2 x = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)

Теперь, поскольку cos x может быть как положительным, так и отрицательным, и это не указано в задаче, мы предполагаем, что нужно рассмотреть оба случая. Корень из 8/9 будет 2/3 или -2/3. Теперь подставляем значения sin x и cos x в выражение и находим два возможных значения:

\( 3sin x + 4cos x = 3\cdot\frac{1}{3} + 4\cdot\frac{2}{3} = 1 + \frac{8}{3} = \frac{11}{3} \) при положительном cos x.

\( 3sin x + 4cos x = 3\cdot\frac{1}{3} + 4\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) = 1 - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3} \) при отрицательном cos x.

4 задание: требуется упростить выражение \((1 + tg^2 \alpha) + (1 - tg^2 \alpha) \cdot \frac{2}{cos^2 \alpha}\). Вспоминаем, что \( 1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}\) (это следует из основного тригонометрического тождества \(1 + tg^2 \alpha = sec^2 \alpha\)). Теперь можем заменить:

\[ (1 + tg^2 \alpha) + (1 - tg^2 \alpha) \cdot \frac{2}{cos^2 \alpha} = \frac{1}{cos^2 \alpha} + (1 - tg^2 \alpha) \cdot \frac{2}{cos^2 \alpha} = \frac{1}{cos^2 \alpha} + \frac{2}{cos^2 \alpha} - 2tg^2 \alpha \cdot \frac{2}{cos^2 \alpha} \]

Упрощаем дальше, сокращая где возможно и используя тот факт, что \(tg^2 \alpha = \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}\):

\[ \frac{1 + 2 - 4tg^2 \alpha}{cos^2 \alpha} = \frac{3 - 4\cdot\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}}{cos^2 \alpha} = \frac{3cos^2 \alpha - 4sin^2 \alpha}{cos^4 \alpha} = \frac{3 - 4sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} \]

Затем применяем тождество \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\), чтобы выразить sin^2 \alpha через cos^2 \alpha:

\[ \frac{3 - 4(1 - cos^2 \alpha)}{cos^2 \alpha} = \frac{3 - 4 + 4cos^2 \alpha}{cos^2 \alpha} = \frac{4cos^2 \alpha - 1}{cos^2 \alpha} \]

Таким образом, выражение упрощается до:

\[ \frac{4cos^2 \alpha - 1}{cos^2 \alpha} = 4 - \frac{1}{cos^2 \alpha} = 4 - sec^2 \alpha \]

И это наше итоговое выражение. Надеюсь, это поможет тебе с решением заданий! Удачи с остальными задачами! Если что-то непонятно, давай спроси, помогу разобраться.