Найдите наименьшее значение функции $y=9x-ln(9x)+3 на отрезке $[\frac {1}{18};\frac {5}{18}]$

Для нахождения наименьшего значения функции \(y=9x-\ln(9x)+3\) на интервале \([\frac{1}{18};\frac{5}{18}]\), сначала найдем производную данной функции.

Выразим производную \(y'(x)\): \[y'(x) = 9 - \frac{1}{9x}\]

Чтобы найти экстремумы функции, приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[9 - \frac{1}{9x} = 0\]

Упростим это уравнение: \[9 = \frac{1}{9x}\] \[x = \frac{1}{9}\]

Теперь проверим значение второй производной в точке \(\frac{1}{9}\) для определения характера экстремума функции.

\[y''(x) = \frac{1}{9x^2}\] \[y''(\frac{1}{9}) = 81\]

Так как значение второй производной положительное, это является минимумом функции.

Подставим \(\frac{1}{9}\) в исходную функцию \(y=9x-\ln(9x)+3\) для нахождения минимального значения \(y\).

\[y(\frac{1}{9}) = 9(\frac{1}{9})-\ln(\frac{1}{9})+3\] \[y(\frac{1}{9}) = 1 + \ln(9) + 3\] \[y(\frac{1}{9}) = 4.197\]

Таким образом, минимальное значение функции \(y=9x-\ln(9x)+3\) на отрезке \([\frac{1}{18};\frac{5}{18}]\) равно примерно 4.197.