Вычислите значение выражения

Привет! Давай вместе решим эту задачу по математике. На картинке у нас есть выражение:

\[ \sqrt[3]{4 \cdot 2^{-\frac{1}{3}}} + 9^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \]

Начнем с первого слагаемого:

\( \sqrt[3]{4 \cdot 2^{-\frac{1}{3}}} \) можно упростить, так как \( 4 \) это \( 2^2 \). Получаем \( 2^2 \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \), что в степенях с одинаковым основанием позволяет нам просто сложить показатели степеней:

\( 2^2 \cdot 2^{-\frac{1}{3}} = 2^{2 - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{6}{3} - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{3}} \)

И теперь мы можем извлечь кубический корень:

\( \sqrt[3]{2^{\frac{5}{3}}} = 2^{\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{9}} \)

Но, похоже, я ошибся. Кубический корень и степень сокращаются полностью, так как \( \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{9} \) неверно. Правильно будет так:

\( \sqrt[3]{2^{\frac{5}{3}}} = 2^{\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{3}} = 2^{\frac{5}{3} \cdot 1} = 2^{\frac{5}{3} \div 3} = 2^{\frac{5}{9}} \)

Теперь, когда мы исправили ошибку, у нас \( \sqrt[3]{2^{\frac{5}{3}}} = 2^{\frac{5}{3} \div 3} = 2^{\frac{5}{3} \times \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{9}} \cdot \frac{1}{3} = 2^{\frac{5}{9} \times 3} = 2^{\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}} = 2^{1} = 2 \).

Теперь решим второе слагаемое:

\( 9^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \). \( 9 \) это \( 3^2 \), а \( 8 \) это \( 2^3 \). Используем это:

\( (3^2)^{\frac{2}{3}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{2 \cdot \frac{2}{3}} \cdot 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{1} = 3^{\frac{4}{3}} \cdot 2 \)

Теперь у нас есть все, чтобы сложить два слагаемых:

\( 2 + (3^{\frac{4}{3}} \cdot 2) = 2 + 2 \cdot 3^{\frac{4}{3}} = 2(1 + 3^{\frac{4}{3}}) \)

Конечное значение \( 1 + 3^{\frac{4}{3}} \) можно только вычислить численно, так как это иррациональное число и точно его записать нельзя. Но если такая задача стоит на уроке математики, скорее всего, остается выражение в таком виде или вас просят использовать калькулятор для приблизительного значения.

Так что, подведем итог нашего решения:

\[ 2 + 2 \cdot 3^{\frac{4}{3}} = 2(1 + 3^{\frac{4}{3}}) \]

Это ответ в аналитической форме. Если нужно приближенное численное значение, следует воспользоваться калькулятором.