13

Привет! Давай вместе разберёмся с тригонометрическим выражением под номером 13.

Нам нужно найти значение выражения \(3 \cos^2(\frac{23 \pi}{6}) + \cos(113 \pi)\) из списка задач на твоей фотографии.

Сначала упростим аргументы косинусов, ведь \( \frac{23 \pi}{6} \) и \( 113 \pi \) – это углы, которые можно привести к стандартному виду, используя периодичность косинуса с периодом \( 2 \pi \).

Значит, \( \frac{23 \pi}{6} \) можно представить как \( \frac{18 \pi}{6} + \frac{5 \pi}{6} = 3 \pi + \frac{5 \pi}{6} \). Поскольку \( 3 \pi \) эквивалентно полному обороту (то есть \( 2 \pi \)) плюс \( \pi \), косинус этого угла эквивалентен косинусу \( \pi + \frac{5 \pi}{6} \), что равно \( - \cos(\frac{5 \pi}{6}) \). А косинус угла \( \frac{5 \pi}{6} \) равен \( - \frac{\sqrt{3}}{2} \) (потому что это угол второй четверти, где косинус отрицателен).

Для \( 113 \pi \) проделаем похожую операцию: \( 113 \pi \) можно рассматривать как \( 112 \pi + \pi \). Здесь \( 112 \pi \) – это \( 56 \) полных оборотов, значит, они не влияют на значение косинуса, а \( \cos(\pi) = -1 \).

Теперь можно подставить упрощенные значения в исходное выражение: \( 3 \cos^2(\frac{23 \pi}{6}) + \cos(113 \pi) = 3 (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1) = 3 \cdot \frac{3}{4} - 1 = \frac{9}{4} \cdot 3 - 1 = \frac{27}{4} - 1 = \frac{27}{4} - \frac{4}{4} = \frac{23}{4} \).

Таким образом, ответ: \( \frac{23}{4} \).