Дан отрезок AD. В одной полуплоскости относительно прямой AD лежат точки B и C такие, что ∠ BAD = ∠ CDA, ∠ BAC = ∠ CDB. Найдите длины отрезков AC и CD, если AB = 5 см, BD = 6 см.

Обозначим AC = x, CD = y.

Так как ∠ BAC = ∠ CDB, то треугольники ABC и CDB подобны по трех сторонам по признаку общей стороны, поэтому:

AB/BC = CD/BD, 5/x = y/6.

Также, поскольку ∠ BAD = ∠ CDA, то треугольники ABD и CDA подобны по трех сторонам:

AB/AD = CD/AC, 5/(x+y) = y/x.

Разрешим эту систему уравнений относительно x и y.

Из первого уравнения получим: 5/x = y/6, 6y = 5x, y = (5/6)x.

Подставим это значение во второе уравнение: 5/(x+y) = y/x, 5/(x + (5/6)x) = (5/6)x/x, 5/(11/6)x = (5/6)x/x.

Упростим это уравнение: 5/(11/6)x = 5/6, (5/6)*(6/11)x = 5/6, 5/11x = 5/6.

Умножим оба выражения на 11: x = 11/6 * 5/6, x = 55/36.

Таким образом, AC = x = 55/36 см и CD = y = (5/6)x = (5/6)*(55/36) = 275/216 см.