Найди числовой промежуток
Привет! Давай разберёмся вместе с этим неравенством шаг за шагом.
Для начала нужно найти нули квадратичных трёхчленов, которые стоят в скобках. Это значения x, при которых каждый из трёхчленов обращается в ноль:
\( (x - 36) = 0 \) даст нам \( x = 36 \), \( (x + 54) = 0 \) даст нам \( x = -54 \), \( (18 + x) = 0 \) даст нам \( x = -18 \).
Теперь у нас есть три критические точки: \( x = -54 \), \( x = -18 \) и \( x = 36 \). Расставим их на числовой оси и определим знаки произведения на интервалах между этими точками. Напомню, что знак произведения меняется каждый раз при прохождении через точку, в которой один из множителей равен нулю.
Итак, интервалы у нас получаются следующие: \( (-\infty, -54) \), \( (-54, -18) \), \( (-18, 36) \) и \( (36, +\infty) \).
Теперь выберем тестовую точку из каждого интервала и подставим в неравенство, чтобы определить знак произведения на интервале:
- В интервале \( (-\infty, -54) \) возьмём, например, \( x = -55 \). Подставляя, видим, что все скобки дадут отрицательный результат (ведь мы вычитаем большее число из меньшего или добавляем отрицательное), так что произведение будет отрицательным.
- В интервале \( (-54, -18) \) возьмём \( x = -19 \). Первая и третья скобки будут положительными, а вторая отрицательной. Произведение отрицательно.
- В интервале \( (-18, 36) \) возьмём \( x = 0 \). Теперь все скобки дадут положительный результат, значит, произведение положительно.
- И на последнем интервале \( (36, +\infty) \) возьмём \( x = 37 \). Все скобки будут положительными, так что произведение опять положительно.
Мы ищем интервалы, где произведение больше нуля, то есть положительно. Исходя из нашей проверки, это интервалы \( (-18, 36) \) и \( (36, +\infty) \).
Так что ответ: \( -18 < x < 36 \) или \( x > 36 \), что можно записать как \( x \in (-18, 36) \cup (36, +\infty) \).
Подставим полученные значения в ответы на картинке.
