Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405. Найдите все натуральные числа, не превосходящие 109, для которых выполнены все условия: — соответствуют маске *31*65?; — делятся на 31 и 2031 без остатка; — количество делителей числа является результатом любой степени двойки. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого числа их частное от деления на 2031.

Для решения этой задачи сначала нам необходимо по шагам проверить все условия для натуральных чисел, не превышающих 10^9.

1. Сначала рассмотрим условие, что числа должны соответствовать маске 3165?:

   • В данной маске мы можем использовать любую последовательность цифр вместо 3165?, от 0 до 9. Таким образом, у нас есть 10^4 = 10000 различных вариантов чисел, которые соответствуют этой маске.

2. Далее проверим условие, что числа должны делиться на 31 и на 2031 без остатка:

   • Нам нужно искать числа, которые делятся и на 31 и на 2031. Поскольку 31 и 2031 - взаимно простые числа, то для того чтобы число делилось и на 31, и на 2031, оно должно делиться на 31*2031 = 62961.
   • Теперь остается только проверить, какие числа из ранее найденных 10000 действительно делятся на 62961.

3. Наконец, проверим условие, что количество делителей числа является результатом любой степени двойки:

   • Это означает, что число делителей каждого числа должно быть степенью двойки. Проверим это условие для каждого числа, которое удовлетворяет первым двум условиям.

Примерно таким образом мы можем решить данную задачу, проведя последовательную проверку всех условий для чисел, не превосходящих 10^9.