каждый из трёх учеников написал 100 разных слов. после этого слова, которые встретились не менее двух раз, вычеркнули. в результате у одного ученика осталось 45 слов, у второго…
Каждый из трёх учеников написал 100 разных слов. после этого слова, которые встретились не менее двух раз, вычеркнули. в результате у одного ученика осталось 45 слов, у второго 68, а у третьего 78. докажите, что по крайней мере одно слово записали все трое.
Для доказательства того, что по крайней мере одно слово было записано всеми тремя учениками, рассмотрим следующее.
Пусть \(x\) обозначает общее количество слов, которые ученики написали в сумме (до вычеркивания повторяющихся слов), а \(y_1\), \(y_2\) и \(y_3\) обозначают количество слов, которые остались у каждого ученика после вычеркивания повторов.
Из условия задачи, мы знаем, что \(x = 100\) (так как каждый ученик написал по 100 разных слов) и \(y_1 = 45\), \(y_2 = 68\), \(y_3 = 78\).
Теперь посчитаем общее количество слов, которые осталось всем ученикам вместе после вычеркивания повторов:
\[y_1 + y_2 + y_3 = 45 + 68 + 78 = 191\]
Однако мы знаем, что общее количество слов, написанных всеми учениками до вычеркивания повторов, равно 100, то есть \(x = 100\).
Таким образом, по принципу покажем, что хотя бы одно слово было записано всеми тремя учениками.
