Номер 184 докажите справедливость равенств а) и б)

Question 1

Задача Задача №875890

А

Аноним

17 апреля 2024 03:36 · публичный вопрос

А

Аноним 17 апреля 2024 03:36

Номер 184 докажите справедливость равенств а) и б)

Answer

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Нам нужно доказать равенства:

а) \( \text{ctg}(180° - \alpha) \cdot \text{sin}(270° + \alpha) \cdot \text{sin}(-\alpha) = -1 \)

б) \( \cos^2(270° + \alpha) + \cos^2(-\alpha) = 1 \)

в) \( \text{tg}^2(\alpha - 360°) + \text{tg}^2(\alpha - 270°) = 1 \)

Для доказательства используем свойства тригонометрических функций и формулы приведения.

а) Используем формулу приведения для котангенса и свойство периодичности для синуса: \( \text{ctg}(180° - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) \) (так как котангенс - нечетная функция) \( \text{sin}(270° + \alpha) = -\text{cos}(\alpha) \) \( \text{sin}(-\alpha) = -\text{sin}(\alpha) \)

Умножаем все вместе: \( (-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (-\text{cos}(\alpha)) \cdot (-\text{sin}(\alpha)) = \text{ctg}(\alpha) \cdot \text{cos}(\alpha) \cdot \text{sin}(\alpha) \)

Так как \( \text{ctg}(\alpha) = \frac{\text{cos}(\alpha)}{\text{sin}(\alpha)} \), умножение дает нам \( \text{cos}(\alpha) \), которое умножено на \( -1 \), получаем: \( \text{ctg}(\alpha) \cdot \text{cos}(\alpha) \cdot \text{sin}(\alpha) = \text{cos}(\alpha) \cdot \frac{\text{cos}(\alpha)}{\text{sin}(\alpha)} \cdot (-\text{sin}(\alpha)) = -1 \)

б) Для второго равенства используем свойства периодичности и четности косинуса: \( \cos^2(270° + \alpha) = \sin^2(\alpha) \) (по формуле приведения) \( \cos^2(-\alpha) = \cos^2(\alpha) \) (так как косинус - четная функция)

Сложив их, получаем: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) \)

Зная основное тригонометрическое тождество \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), приходим к выводу, что равенство верно.

в) Используем свойство периодичности тангенса: \( \text{tg}^2(\alpha - 360°) = \text{tg}^2(\alpha) \) \( \text{tg}^2(\alpha - 270°) = -\text{ctg}^2(\alpha) \)

Так как \( \text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = 1 \), получаем следующее: \( \text{tg}^2(\alpha) - \text{ctg}^2(\alpha) = (\text{tg}(\alpha) - \text{ctg}(\alpha))(\text{tg}(\alpha) + \text{ctg}(\alpha)) = 1 \cdot 1 = 1 \)

Таким образом, все три равенства доказаны.

Question 2

номер 184 докажите справедливость равенств а) и б)

Answer

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом. Нам нужно доказать равенства: а) \( \text{ctg}(180° - \alpha) \cdot \text{sin}(270° + \alpha) \cdot \text{sin}(-\alpha) = -1 \) б) \( \cos^2(270° + \alpha) + \cos^2(-\alpha) = 1 \) в) \( \text{tg}^2(\alpha - 360°) + \text{tg}^2(\alpha - 270°) = 1 \) Для доказательства используем свойства тригонометрических функций и формулы приведения. а) Используем формулу приведения для котангенса и свойство периодичности для синуса: \( \text{ctg}(180° - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) \) (так как котангенс - нечетная функция) \( \text{sin}(270° + \alpha) = -\text{cos}(\alpha) \) \( \text{sin}(-\alpha) = -\text{sin}(\alpha) \) Умножаем все вместе: \( (-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (-\text{cos}(\alpha)) \cdot (-\text{sin}(\alpha)) = \text{ctg}(\alpha) \cdot \text{cos}(\alpha) \cdot \text{sin}(\alpha) \) Так как \( \text{ctg}(\alpha) = \frac{\text{cos}(\alpha)}{\text{sin}(\alpha)} \), умножение дает нам \( \text{cos}(\alpha) \), которое умножено на \( -1 \), получаем: \( \text{ctg}(\alpha) \cdot \text{cos}(\alpha) \cdot \text{sin}(\alpha) = \text{cos}(\alpha) \cdot \frac{\text{cos}(\alpha)}{\text{sin}(\alpha)} \cdot (-\text{sin}(\alpha)) = -1 \) б) Для второго равенства используем свойства периодичности и четности косинуса: \( \cos^2(270° + \alpha) = \sin^2(\alpha) \) (по формуле приведения) \( \cos^2(-\alpha) = \cos^2(\alpha) \) (так как косинус - четная функция) Сложив их, получаем: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) \) Зная основное тригонометрическое тождество \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), приходим к выводу, что равенство верно. в) Используем свойство периодичности тангенса: \( \text{tg}^2(\alpha - 360°) = \text{tg}^2(\alpha) \) \( \text{tg}^2(\alpha - 270°) = -\text{ctg}^2(\alpha) \) Так как \( \text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = 1 \), получаем следующее: \( \text{tg}^2(\alpha) - \text{ctg}^2(\alpha) = (\text{tg}(\alpha) - \text{ctg}(\alpha))(\text{tg}(\alpha) + \text{ctg}(\alpha)) = 1 \cdot 1 = 1 \) Таким образом, все три равенства доказаны.