Реши неравенство
Привет! Помогу тебе решить это неравенство шаг за шагом.
Нам дано неравенство:
\[ \frac{x - 2}{3x + 9} > 0 \]
Для решения такого рода неравенства мы должны сначала найти область допустимых значений (ОДЗ) для x, и это связано с знаменателем, который не должен быть равен нулю. Решаем \(3x + 9 = 0\), откуда получаем \(x = -3\). Это число будет точкой разрыва, и нам нужно его исключить из рассмотрения.
Далее, нам нужно проверить знаки выражения \(x - 2\) и \(3x + 9\) по обе стороны от точки разрыва, чтобы понять, в каких интервалах данное неравенство будет выполняться.
Рассмотрим интервал \(x < -3\). Подставим, например, \(x = -4\):
- \(x - 2\) становится положительным (так как \(-4 - 2 = -6\), это отрицательное число, а мы ищем знак выражения);
- \(3x + 9\) также остается отрицательным (\(3*(-4) + 9 = -12 + 9 = -3\)). Когда отрицательное число делится на отрицательное, результат положителен, то есть неравенство выполняется для \(x < -3\).
Теперь рассмотрим интервал \(x > -3\). Можем взять, например, \(x = 0\):
- \(x - 2\) становится отрицательным (\(0 - 2 = -2\));
- \(3x + 9\) будет положительным (\(3*0 + 9 = 9\)). Когда отрицательное число делится на положительное, результат отрицателен, и неравенство не выполняется для \(x > -3\).
Итак, решение нашего неравенства: \(x < -3\).
Не забудь скобки, показывающие, что само число \(-3\) в решение не включается: \((-∞; -3)\).
