На доске написано 15 различных целых чисел. Каждое число возвели либо в квадрат, либо в куб и результат записали вместо первоначального числа. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться записано на доске?

Наименьшее количество различных чисел, которые могли быть записаны на доске, - это 7. Для того чтобы обеспечить возможность определить исходные 15 чисел, у нас должно быть хотя бы 8 различных итоговых чисел.

По принципу Дирихле, каждое исходное число могло быть возведено либо в квадрат, либо в куб, образуя 2 возможных результата. Если бы у нас было меньше 8 разных результатов, значит, хотя бы одно из чисел было бы представлено хотя бы в квадрате и в кубе одновременно, что привело бы к наличию более 15 различных чисел на доске.