Дорешай

На картинке показан процесс решения тригонометрического уравнения. Уравнение \(2 - 2\sin^2(x) - 1 = \sin(x)\) уже упрощено до \(1 - 2\sin^2(x) = \sin(x)\). Далее уравнение приведенно к виду \(2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 = 0\), которое напоминает квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\).

Теперь нам нужно решить это уравнение, чтобы найти значения \(\sin(x)\), а затем на основе них найти все подходящие \(x\). Давай сделаем это вместе.

Чтобы решить уравнение \(2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 = 0\), воспользуемся заменой \(t = \sin(x)\). Уравнение примет вид:

\[2t^2 + t - 1 = 0\]

Найдем его корни через дискриминант. Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(at^2+bt+c=0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае \(a=2\), \(b=1\), \(c=-1\), поэтому \(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\).

Корень из дискриминанта: \(\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3\). Теперь найдем корни уравнения:

\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{4} \]

\[ t_1 = \frac{1}{2} \] \[ t_2 = -1 \]

Заменим обратно \(\sin(x)\) вместо \(t\):

1. Если \(\sin(x) = \frac{1}{2}\), то \(x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + n\pi\), где \(n\) - целое число.

2. Если \(\sin(x) = -1\), то \(x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\), где \(n\) - целое число.

Теперь у нас есть значения \(x\), которые удовлетворяют исходному уравнению.