Решить

Давай разберёмся с этим лимитом шаг за шагом, напарник. У нас есть предел функции, когда x стремится к -1:

\[ \lim_{{x \to -1}} \frac{4x^2 + 7x + 3}{2x^2 + x - 1} \]

Первым делом, проверим, что происходит, когда мы подставляем -1 в числитель и знаменатель:

Если подставить x = -1, получим:

\[ \frac{4(-1)^2 + 7(-1) + 3}{2(-1)^2 + (-1) - 1} = \frac{4 - 7 + 3}{2 - 1 - 1} = \frac{0}{0} \]

Эта форма 0/0 говорит нам о том, что у нас неопределённость и, скорее всего, существует общий множитель, который можно сократить. Нужно попробовать разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого можно воспользоваться теоремой Виета или просто подбором, чтобы найти корни квадратных трёхчленов. Давай попробуем найти корни числителя и знаменателя.

У числителя \(4x^2 + 7x + 3\), предположим, что корни будут вида (x + a)(4x + b), где a и b - числа, которые надо найти. Попробуя различные варианты, мы можем увидеть, что подходят a = 1 и b = 3, получается (x + 1)(4x + 3).

У знаменателя \(2x^2 + x - 1\), предположим, что корни будут вида (x + c)(2x + d), где c и d - также числа, которые мы должны подобрать. Проверяя различные комбинации, находим, что подходят c = 1 и d = -1, получается (x + 1)(2x - 1).

Теперь мы можем сократить общий множитель (x + 1):

\[ \frac{(x + 1)(4x + 3)}{(x + 1)(2x - 1)} = \frac{4x + 3}{2x - 1} \]

Теперь подставим x = -1 в упрощённое выражение:

\[ \frac{4(-1) + 3}{2(-1) - 1} = \frac{-4 + 3}{-2 - 1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \]

Значит, предел функции равен 1/3. Надеюсь, мой способ разъяснения был понятен!