Докажите тождество

Привет! Давай вместе разберемся с этим заданием.

Тебе нужно доказать тождество:

\[ \left( \frac{b}{b^2 - 8b + 16} - \frac{b + 6}{b^2 + 16} \right) : \frac{b + 12}{b^2 - 16} = \frac{2}{b - 4} \]

Сначала упростим выражения в скобках. Обрати внимание, что \(b^2 - 8b + 16\) является полным квадратом и равно \((b - 4)^2\), а \(b^2 - 16\) можно разложить по формуле разности квадратов \((b + 4)(b - 4)\).

Итак, давай упростим числитель и знаменатель дроби внутри скобок.

Первая дробь в скобках будет \(\frac{b}{(b - 4)^2}\), а вторая дробь после приведения к общему знаменателю \(\frac{b + 6}{(b + 4)(b - 4)}\). Теперь вычтем вторую дробь из первой:

\[ \frac{b(b + 4) - (b + 6)(b - 4)}{(b - 4)^2(b + 4)} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{b^2 + 4b - (b^2 - 4b - 24)}{(b - 4)^3} \]

Теперь упростим числитель:

\[ \frac{b^2 + 4b - b^2 + 4b + 24}{(b - 4)^3} = \frac{8b + 24}{(b - 4)^3} \]

Затем вынесем 8 за скобку в числителе:

\[ \frac{8(b + 3)}{(b - 4)^3} \]

Далее делим это выражение на дробь \(\frac{b + 12}{b^2 - 16}\):

\[ \frac{8(b + 3)}{(b - 4)^3} : \frac{b + 12}{(b + 4)(b - 4)} \]

Перевернем вторую дробь и умножим:

\[ \frac{8(b + 3)}{(b - 4)^3} \cdot \frac{(b + 4)(b - 4)}{b + 12} \]

Теперь в числителе и знаменателе есть общий множитель \(b + 3\), которые можно сократить, а также в числителе и знаменателе есть множители \((b - 4)\), которые можно частично сократить:

\[ \frac{8(b - 4)}{(b - 4)^2} = \frac{8}{b - 4} \]

Но нам нужно получить \(\frac{2}{b - 4}\), поэтому упростим дальше:

\[ \frac{8}{b - 4} = \frac{2 \cdot 4}{b - 4} = \frac{2}{b - 4} \]

И вот мы доказали это тождество! Если что-то непонятно, спрашивай, разберем детальнее.