п
На фотографии изображена книга с математическими задачами. Видно, что есть задачи на решение уравнений и неравенств, а также на определение интервалов значений переменных.
Давай рассмотрим задачу 3 б): "При каких значениях a уравнение \( x^2 + 2ax + a^2 - 4 = 0 \) имеет два корня, принадлежащие промежутку (-6; 6)?"
Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно вспомнить, что для того, чтобы уравнение имело два корня, его дискриминант должен быть положительным: \( D > 0 \). У нас квадратное уравнение вида \( x^2 + 2ax + (a^2 - 4) = 0 \), так что дискриминант будет равен \( D = (2a)^2 - 4*(a^2 - 4) \).
Давай раскроем скобки и найдем условие положительности дискриминанта:
\( D = 4a^2 - 4a^2 + 16 = 16 \)
Мы видим, что дискриминант не зависит от a и всегда положителен, то есть \( D = 16 > 0 \). Это означает, что уравнение будет иметь два корня при любых a.
Теперь важно проверить, попадают ли корни в интервал (-6; 6). Найдем корни уравнения через формулу корней квадратного уравнения. Они равны:
\( x_1 = \frac{-2a + \sqrt{D}}{2} = \frac{-2a + 4}{2} = -a + 2 \)
\( x_2 = \frac{-2a - \sqrt{D}}{2} = \frac{-2a - 4}{2} = -a - 2 \)
Теперь проверим, при каких a данные корни попадают в промежуток (-6; 6). Это можно записать как двойное неравенство для каждого корня:
\( -6 < -a + 2 < 6 \)
\( -6 < -a - 2 < 6 \)
Решим каждое из них:
Для \( -a + 2 \):
\( -6 < -a + 2 \) дает \( a < 8 \),
\( -a + 2 < 6 \) дает \( a > -4 \).
Для \( -a - 2 \):
\( -6 < -a - 2 \) дает \( a < 10 \),
\( -a - 2 < 6 \) дает \( a > -8 \).
Теперь объединим оба условия и найдем общий интервал для a, учитывая все условия одновременно:
\( a > -4 \) (из \( -a + 2 < 6 \)) и \( a < 8 \) (из \( -a + 2 < 6 \) и \( -a - 2 < 6 \)).
Таким образом, решением будет интервал \( -4 < a < 8 \). Все значения a из этого интервала обеспечат существование двух корней уравнения, каждый из которых попадет в заданный промежуток (-6; 6).
