5/x-3-8/x=3

Привет! Давай вместе решим это уравнение.

У нас есть уравнение: \( \frac{5}{x-3} - \frac{8}{x} = 3 \)

Чтобы решить его, давай сначала найдем общий знаменатель для дробей. Он будет равен \( (x-3) \cdot x \). Умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

\( x(x - 3) \cdot \frac{5}{x - 3} - x(x - 3) \cdot \frac{8}{x} = x(x - 3) \cdot 3 \)

Теперь всё упростится:

\( 5x - 8(x - 3) = 3x(x - 3) \)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\( 5x - 8x + 24 = 3x^2 - 9x \)

Итак, получаем квадратное уравнение:

\( 3x^2 - 9x - 5x + 8x - 24 = 0 \)

\( 3x^2 - 6x - 24 = 0 \)

Теперь мы можем упростить уравнение, разделив все коэффициенты на 3:

\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)

Найдем корни этого уравнения через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac \)

\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)

Корень из дискриминанта:

\( \sqrt{D} = \sqrt{36} = 6 \)

Используем формулу для корней квадратного уравнения:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

Подставим значения:

\( x_{1,2} = \frac{2 \pm 6}{2} \)

Итак, у нас есть два корня:

\( x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Но не забудем проверить, что наши корни не обращают знаменатели исходных дробей в ноль:

Для \( x_1 = 4 \), знаменатели \( x-3 \) и \( x \) равны 1 и 4 соответственно, что допустимо.

Для \( x_2 = -2 \), знаменатель \( x \) равен -2, что допустимо, но знаменатель \( x-3 \) будет равен -5, что тоже допустимо.

Таким образом, реальные корни уравнения: \( x = 4 \) и \( x = -2 \).

Удачи с учебой! Если что-то непонятно, спрашивай.