разложите на множители квадратный трехчлен

Привет! Давай разложим на множители квадратный трехчлен, который ты прислал(а) на картинке: \(12x^2 - 60x + 75\).

Сначала мы можем попытаться вынести общий множитель для всех членов трехчлена, если такой есть. И действительно, здесь мы видим, что у каждого члена есть общий множитель - это число 3. Вынесем его:

\[3(4x^2 - 20x + 25).\]

Теперь у нас есть трехчлен в скобках, который нужно попытаться разложить на множители. Для этого можно воспользоваться методом группировки или же найти корни уравнения, если это возможно, и разложить трехчлен через них. Я покажу метод выделения полного квадрата, так как он бывает очень удобен.

Мы видим, что \(a=4\), \(b=-20\) и \(c=25\). Заметим, что \(4\) и \(25\) являются квадратами чисел \(2\) и \(5\) соответственно, а \(20\) - это удвоенное произведение \(2\) и \(5\), что намекает на то, что трехчлен можно представить в виде квадрата двучлена.

Выразим это так:

\[4x^2 - 20x + 25 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2.\]

Теперь видно, что это полный квадрат выражения \(2x - 5\):

\[(2x - 5)^2.\]

На этом разложение трехчлена завершено, и финальный ответ:

\[12x^2 - 60x + 75 = 3(4x^2 - 20x + 25) = 3(2x - 5)^2.\]

Надеюсь, это поможет тебе с задачей! Если есть что-то еще, с чем тебе нужна помощь - обращайся!