Решить задание 1

Конечно, помогу тебе с заданием. На картинке видно несколько задач, но ты просил помочь с заданием №1.

В задании №1 тебе нужно вычислить неопределенные интегралы. Давай рассмотрим каждый из них по отдельности:

а) \(\int \frac{dx}{x^2 + 4}\)

Для вычисления этого интеграла вспомним формулу интегрирования \(\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} + C\). В нашем случае \(a^2 = 4\), т.е. \(a = 2\), и интеграл примет вид:

\[\frac{1}{2}\arctan{\frac{x}{2}} + C\]

б) \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 4}}\)

Этот интеграл похож на стандартный интеграл \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}}\), который равен \(\ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\). Здесь \(a^2 = 4\), следовательно, интеграл будет выглядеть так:

\[\ln |x + \sqrt{x^2 - 4}| + C\]

в) \(\int \frac{x^3dx}{\sqrt{x^2 + 4}}\)

Этот интеграл решается методом замены переменных. Введем \(t = x^2 + 4\), тогда \(dt = 2xdx\), а \(x^2 = t - 4\) и \(x^3dx = \frac{1}{2}(t - 4)dt\). Интеграл примет вид:

\[\int \frac{1}{2}(t - 4) \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int (t^{1/2} - 4t^{-1/2})dt\]

Теперь интегрируем почленно:

\[= \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3}t^{3/2} - 8t^{1/2} \right) + C\]

Обратная замена \(t = x^2 + 4\) даст нам:

\[= \frac{1}{3}(x^2 + 4)^{3/2} - 4\sqrt{x^2 + 4} + C\]

Теперь у тебя есть решения для каждого интеграла отдельно. Если у тебя возникнут вопросы или нужна помощь с другими задачами, пиши!