В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен b, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: а) b = 10, ∠B = 45°; б) b =15, ∠B= 60°; в) b =3√3, ∠B=30°.

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b, гипотенузой c и углом B, справедливы следующие тригонометрические соотношения:

1. Синус угла B равен отношению противолежащего катета b к гипотенузе c: sin(B) = b/c.

2. Косинус угла B равен отношению прилежащего катета a к гипотенузе c: cos(B) = a/c.

3. Теорема Пифагора: a^2 + b^2 = c^2.

Давайте решим задачи по порядку:

а) Для случая b = 10 и угла B = 45°. Мы знаем, что sin(45°) = b/c. Поскольку sin(45°) = √2/2, подставляем это значение: √2/2 = 10/c. Отсюда c = 10/√2 = 5√2. Используем теорему Пифагора: a^2 + 10^2 = (5√2)^2. Решая это уравнение, получаем, что второй катет a = 10 и гипотенуза c = 10√2.

б) Для случая b = 15 и угла B = 60°. Аналогичным образом, sin(60°) = 15/c. Так как sin(60°) = √3/2, имеем √3/2 = 15/c. Отсюда c = 15/(√3/2) = 10√3. Применяем теорему Пифагора: a^2 + 15^2 = (10√3)^2. Решая уравнение, получаем, что второй катет a = 5√3, а гипотенуза c = 10√3.

в) Для случая b = 3√3 и угла B = 30°. Также, sin(30°) = 3√3/c. Поскольку sin(30°) = 1/2, имеем 1/2 = 3√3/c. Отсюда c = 3√3/(1/2) = 6√3. Используя теорему Пифагора, находим, что второй катет a = 3, а гипотенуза c = 6√3.

Таким образом, мы нашли значения второго катета и гипотенузы для каждого из указанных случаев.