.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Нам нужно найти площадь треугольника A₁B₁C₁, который получается в результате соединения середин сторон исходного правильного треугольника АВС.

Так как АВС - правильный треугольник, то все его стороны равны, и каждая медиана делит его на два равносторонних треугольника. Когда мы соединяем середины сторон, образованные треугольники A₁B₁C₁ будут подобны исходному треугольнику ABC, но их стороны будут в два раза меньше.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \), где \( a \) - длина стороны треугольника. Так как сторона треугольника A₁B₁C₁ в два раза меньше стороны ABC, то \( a_{A₁B₁C₁} = \frac{a_{ABC}}{2} = \frac{2^{10}}{2} = 2^9 \).

Теперь подставим длину стороны A₁B₁C₁ в формулу площади:

\( S_{A₁B₁C₁} = \frac{{(2^9)}^2 \sqrt{3}}{4} \) \( S_{A₁B₁C₁} = \frac{2^{18} \sqrt{3}}{4} \) \( S_{A₁B₁C₁} = \frac{2^{18}}{2^2} \sqrt{3} \) \( S_{A₁B₁C₁} = 2^{16} \sqrt{3} \)

Таким образом, площадь треугольника A₁B₁C₁ равна \( 2^{16} \sqrt{3} \) квадратных единиц измерения.