Решительно неравенство

Привет! Давай вместе решим это неравенство.

У нас есть неравенство \( 2^x + 6 \cdot 2^{-x} \leq 7 \).

Для решения неравенства удобно сделать замену, чтобы избавиться от отрицательной степени. Пусть \( t = 2^x \), тогда \( 2^{-x} = \frac{1}{2^x} = \frac{1}{t} \).

Теперь подставим \( t \) в неравенство и получим:

\[ t + \frac{6}{t} \leq 7 \].

Чтобы решить это неравенство, умножим обе части на \( t \) (с учетом того, что \( t > 0 \), так как \( t \) является степенью двойки, а степень двойки всегда положительна), чтобы избавиться от дроби:

\[ t^2 + 6 \leq 7t \].

Теперь приведем неравенство к квадратному, перенеся все члены в одну сторону:

\[ t^2 - 7t + 6 \leq 0 \].

Раскладываем квадратный трехчлен на множители:

\[ (t - 1)(t - 6) \leq 0 \].

Теперь решим это неравенство методом интервалов:

1. Найдем корни уравнения \( (t - 1)(t - 6) = 0 \): \( t_1 = 1 \) и \( t_2 = 6 \).
2. Нанесем точки на числовую ось и определим знаки произведения на интервалах.

Имеем интервалы (-∞, 1], [1, 6] и [6, +∞). Произведение будет отрицательным на интервале (1, 6), так как в нем содержится нечетное количество отрицательных множителей.

Таким образом, решение неравенства в терминах \( t \) будет \( 1 \leq t \leq 6 \).

Теперь вернемся к переменной \( x \):

\[ 1 \leq 2^x \leq 6 \].

Решим это неравенство относительно \( x \):

\[ 0 \leq x \leq \log_2{6} \].

Итак, решение исходного неравенства:

\[ 0 \leq x \leq \log_2{6} \].

Вот и все! Если появятся вопросы – спрашивай, помогу разобраться.