Решить

Давай решим вместе!

1. Нам нужно найти первый член арифметической прогрессии. Зная формулу суммы арифметической прогрессии \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \), мы можем сравнить это с формулой из задачи \( S_n = \frac{5n^2 - n}{2} \). Отсюда получаем формулу n-го члена прогрессии \( a_n = 5n - 1 \). Подставляем \( n = 1 \), чтобы найти первый член, получаем \( a_1 = 5 \cdot 1 - 1 = 4 \). Значит, верный ответ - в) 4.

2. Для арифметической прогрессии с первым членом 7 и разностью -6, сумму первых 9 членов найдем по формуле суммы арифметической прогрессии \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \). Найдем 9-й член: \( a_9 = a_1 + 8d = 7 + 8 \cdot (-6) = 7 - 48 = -41 \). Теперь сумму: \( S_9 = \frac{7 - 41}{2} \cdot 9 = \frac{-34}{2} \cdot 9 = -17 \cdot 9 = -153 \).

3. Чтобы найти сумму всех членов арифметической прогрессии до 20-го, используем формулу \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \). По формуле \( a_n = 5 - 3n \) находим \( a_1 = 5 - 3 \cdot 1 = 2 \) и \( a_{20} = 5 - 3 \cdot 20 = 5 - 60 = -55 \). Теперь сумму: \( S_{20} = \frac{2 - 55}{2} \cdot 20 = \frac{-53}{2} \cdot 20 = -53 \cdot 10 = -530 \).

4. Чтобы найти сумму всех натуральных чисел от 50 до 150, дающих при делении на 7 остаток 3, найдем их количество. Наименьшее число - 52 (50+2), наибольшее - 148 (147+1). Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 7. Найдем n: \( a_n = a_1 + (n-1)d \), \( 148 = 52 + (n-1)7 \), \( 96 = (n-1)7 \), \( n-1 = 96/7 \), \( n = 96/7 + 1 \), \( n = 13 + 1 \), \( n = 14 \). Теперь сумму: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{52 + 148}{2} \cdot 14 = \frac{200}{2} \cdot 14 = 100 \cdot 14 = 1400 \).

5. Решим уравнение. Оно представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью 7. Чтобы найти число членов, допустим, что x - это a_n, тогда \( a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1) \cdot 7 \). Теперь выразим n и получим уравнение относительно x: \( n = \frac{x - 2}{7} + 1 \). Подставим в формулу суммы и решим относительно x: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2 + x}{2} \cdot \left(\frac{x - 2}{7} + 1\right) = 161 \). Решая это уравнение, найдем значение x.

Если что-то неясно или нужна помощь с другой задачей, не стесняйся спрашивать!