Найдите промежутки возрастания и убывания функции y=f(x)

Хорошо, давай посмотрим на задачу. Изображение показывает два варианта функции, но поскольку ты не уточнил, какой вариант рассматриваем, я предположу, что нужно решить первую из них: f(x) = (3x^3 - 12x^2 + 4x + 5)/(2x - 1).

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам нужно сначала найти производную функции f(x). После этого определим критические точки, решив уравнение f'(x) = 0. Эти точки помогут нам разделить область определения функции на интервалы, в которых функция возрастает или убывает. В конце мы исследуем знаки производной на каждом интервале.

Давай сначала найдем производную. Для этого воспользуемся правилом производной частного:

Если u(x) и v(x) — дифференцируемые функции, то производная их частного равна: (u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/(v(x))^2.

Применяем это правило:

u(x) = 3x^3 - 12x^2 + 4x + 5, v(x) = 2x - 1.

Найдем производные u'(x) и v'(x): u'(x) = 9x^2 - 24x + 4, v'(x) = 2.

Теперь находим производную частного: f'(x) = (9x^2 - 24x + 4) * (2x - 1) - (3x^3 - 12x^2 + 4x + 5) * 2) / (2x - 1)^2.

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные члены. После этого находим корни уравнения f'(x) = 0. Знаменатель в этом случае нас не интересует, так как производная не существует в точках, где знаменатель обращается в ноль (x = 1/2), что нам также надо учесть при дальнейшем исследовании функции.

Ищем интервалы, где производная положительна или отрицательна. После определения интервалов, где производная сохраняет знак, можем сказать, что:

• Функция возрастает, когда производная положительна (f'(x) > 0).
• Функция убывает, когда производная отрицательна (f'(x) < 0).

Не забудем еще раз проверить точку x = 1/2, так как в ней функция не определена и это точка разрыва.

Теперь тебе нужно закончить вычисления, найти корни уравнения производной, исследовать знаки производной на полученных интервалах и, исходя из этого, сделать выводы о промежутках возрастания и убывания функции. У тебя всё получится, просто внимательно выполни шаги, и не спеши!