реши номер 209

Окей, давай найдем производную для номера 209. Сначала взглянем на задание. Нас просят найти производную функции \( f(x) = x^2 (3x^3 + 2x - x^2) \).

Для этого используем правило производной произведения, которое гласит, что производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй.

Обозначим \( u = x^2 \) (производная \( u' = 2x \)) и \( v = 3x^3 + 2x - x^2 \) (производная \( v' = 9x^2 + 2 - 2x \)).

Тогда производная \( f(x) \) по правилу производной произведения будет: \[ f'(x) = u'v + uv' \]

Подставляем значения производных и исходных функций: \[ f'(x) = (2x)(3x^3 + 2x - x^2) + (x^2)(9x^2 + 2 - 2x) \]

Теперь просто раскроем скобки: \[ f'(x) = 6x^4 + 4x^2 - 2x^3 + 9x^4 + 2x^2 - 2x^3 \]

Объединим подобные члены: \[ f'(x) = 6x^4 + 9x^4 + 4x^2 + 2x^2 - 2x^3 - 2x^3 \] \[ f'(x) = 15x^4 + 6x^2 - 4x^3 \]

Это и есть производная исходной функции. Надеюсь, это поможет тебе в решении этого номера! Если что-то непонятно или нужно решить другой номер - спрашивай.