В течение 𝑛 дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли 𝑛 быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

а) Нет, 𝑛 не может быть больше 5. Рассмотрим случай, когда 𝑛 = 6. Пусть на первый день на доске записано число 5. Тогда на второй день на доску должно быть записано число меньше 5, но при этом сумма чисел должна быть больше 5. Такой ситуации не существует, поэтому 𝑛 не может быть больше 5.

б) Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, может быть меньше 3. Допустим, на первый день на доску записаны числа 2 и 2. Тогда среднее арифметическое этих чисел будет равно 2, что меньше 3.

Среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, не может быть больше 4. Если для каждого следующего дня на доске записывается число, меньшее, чем на предыдущий день, то сумма чисел будет уменьшаться, а следовательно, и среднее арифметическое будет уменьшаться. Поэтому среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, не может быть больше 4.

в) Если сумма всех чисел, записанных за все дни, равна 6, то это означает, что на каждый день записывается число 1. Поскольку каждый день (кроме первого) сумма чисел должна быть больше, а количество меньше, чем в предыдущий день, то возможно следующее распределение чисел:
1, 1, 1, 1, 1, 1.

Таким образом, наибольшее значение суммы всех чисел, записанных за все дни, равно 6.