задание 117

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу вместе!

Дано: нам нужно выяснить, является ли множество всех вещественных чисел метрическим пространством, если за расстояние между двумя числами \( x \) и \( y \) принять число: \( \rho(x, y) = |\arctg(x) - \arctg(y)| \).

Решение:

Чтобы множество было метрическим пространством, функция расстояния \( \rho \) должна удовлетворять нескольким аксиомам:

1. Неотрицательность: \( \rho(x, y) \geq 0 \), и \( \rho(x, y) = 0 \) тогда и только тогда, когда \( x = y \);
2. Симметричность: \( \rho(x, y) = \rho(y, x) \);
3. Неравенство треугольника: \( \rho(x, z) \leq \rho(x, y) + \rho(y, z) \) для любых \( x, y, z \).

Итак, давайте проверим каждую из этих аксиом для функции расстояния \( \rho \):

1. Функция арктангенса принимает значения от \( -\frac{\pi}{2} \) до \( \frac{\pi}{2} \), и её значение растёт с ростом аргумента. Поэтому разность арктангенсов вне зависимости от знака будет неотрицательной, т.е. \( \rho(x, y) \geq 0 \). И \( \rho(x, y) = 0 \) возможно только при \( x = y \), так как арктангенс — взаимно однозначная функция на всей числовой прямой.
2. Так как модуль симметричен относительно своих аргументов \( |a - b| = |b - a| \), то \( \rho(x, y) = \rho(y, x) \).
3. Для проверки неравенства треугольника проверим, выполняется ли \( |\arctg(x) - \arctg(z)| \leq |\arctg(x) - \arctg(y)| + |\arctg(y) - \arctg(z)| \).

Мы знаем, что функция арктангенса монотонна. Поэтому, если мы берем три числа \( x, y, z \), то между их арктангенсами сохранится та же упорядоченность. Без потери общности можно сказать, что если \( x \leq y \leq z \), то \( \arctg(x) \leq \arctg(y) \leq \arctg(z) \). То есть неравенство треугольника будет выполняться на основании свойств арктангенса, так как разность арктангенсов \( x \) и \( z \) будет всегда меньше или равна сумме разностей арктангенсов \( x \) и \( y \) и \( y \) и \( z \). Это следует из линейности арктангенса между двумя точками.

Вывод: учитывая верность всех трех аксиом, множество всех вещественных чисел с таким определением расстояния действительно является метрическим пространством.