.
Привет! Давайте вместе разберемся с этой контрольной работой. Перед нами задание по теме "Дифференциальное исчисление".
- Начнем с нахождения производной для заданных функций:
a) Для функции \( y = 3x^4 - \frac{5}{3x^3} - 9\sqrt{x^2-1} \), чтобы найти производную, нужно применить правило нахождения производной степенной функции и произведения/частного. Производная \(3x^4\) будет \(12x^3\), производная \(- \frac{5}{3x^3}\) -- это \(\frac{15}{x^4}\) (используйте правило производной от частного), и производная \(- 9\sqrt{x^2-1}\) -- это \(-9x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}\) (цепное правило для функции под корнем).
б) Для функции \( y = (x^3 + 1)(ln(x) + 1) \), нам нужно использовать правило производной произведения. Возьмем производную первой части \( (x^3 + 1) \), которая равна \(3x^2\), и умножим на вторую часть \( (ln(x) + 1) \). Плюс возьмем первую часть без изменений и умножим на производную второй части \( (\frac{1}{x}) \).
в) Для функции \( y = \frac{arctg(x)}{1+x^2} \), применим правило производной частного. Производная числителя \(arctg(x)\) будет \(\frac{1}{1 + x^2}\), а знаменателя \(1 + x^2\) будет \(2x\). Вспомним, как выглядит производная частного и применим ее к этой задаче.
г) Для функции \( y = e^{sin5x} \), используем цепное правило, где внешняя функция - это экспоненциальная функция, а внутренняя - \(sin5x\). Производная внешней функции будет такой же, \(e^{sin5x}\), а внутренней- \(cos5x\), умноженной на 5 из цепного правила.
Нам нужно написать уравнение касательной к кривой \( f(x) = \sqrt{x - 4} \) в точке \( x_0 = 8 \). Сначала найдем \( f'(x) \), далее подставим точку \( x_0 \) в \( f(x) \) и \( f'(x) \), чтобы получить \( y_0 \) и \( k \) - угловой коэффициент касательной. Затем используем формулу точки и касательной \( y - y_0 = k(x - x_0) \).
Наконец, исследуем функцию \( f(x) = \frac{2x - x^2 + 2}{x + 1} \). Здесь нам предстоит найти область определения функции, точки пересечения с осями координат, асимптоты, экстремумы и возрастание/убывание функции. На основе этого анализа мы можем построить график функции.
Вот такой план, давай начнем по порядку. Если нужно решить конкретный пункт, дай знать, и мы вместе подробно его разберем!
