Оля и Сергей играют в игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка стоит в точке с координатами (5, N). За один ход игрок может переместить фишку из точки с координатами (a, b) в одну из трех точек: (a+3, b), (a, b+3), (a+2, b+1). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние от фишки до точки с координатами (0, 0) станет больше 10. Ольга делает первый ход. Кто имеет выигрышную стратегию при безошибочной игре обоих игроков, если в начале игры фишка находится в точке с координатами (5, -3)? Укажите его имя в поле для краткого ответа и опишите выигрышную стратегию в поле для развернутого ответа.
Краткий ответ: Сергей.
Объяснение стратегии: Давай рассмотрим задачу пошагово.
Фишка в начале находится в точке (5, -3). Посчитаем расстояние от этой точки до (0, 0) по теореме Пифагора, но для простоты будем считать квадрат расстояния, чтобы избежать извлечения корня. Итак, расстояние^2 = 5^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34.
Нам нужно, чтобы фишка оказалась дальше 10 от начала координат, то есть расстояние^2 должно быть больше 10^2, то есть 100.
Посмотрим на возможные ходы Оли:
- (5 + 3, -3) = (8, -3), расстояние^2 = 64 + 9 = 73.
- (5, -3 + 3) = (5, 0), расстояние^2 = 25.
- (5 + 2, -3 + 1) = (7, -2), расстояние^2 = 49 + 4 = 53.
Все три варианта не приводят к превышению 100, поэтому Оля не сможет выиграть одним ходом. Сергей будет следовать той же логике, выбирая ходы так, чтобы расстояние^2 также не превышало 100. Сергей будет повторять это до тех пор, пока не дождется ошибки от Оли или не найдется такой момент, когда после его хода любой следующий ход Оли будет вести к расстоянию больше 10. Это и будет его выигрышная стратегия.
Исходя из симметрии игры, каждый последующий ход игроков будет увеличивать расстояние на некоторое количество, таким образом, Сергей, играя вторым, всегда сможет контролировать игру, поддерживая расстояние ниже 100 до тех пор, пока именно его ход не сделает невозможным для Оли следующий шаг, не превышающий расстояние в 10. Таким образом, Сергей имеет выигрышную стратегию при безошибочной игре обоих игроков.
