Найти проихводную
Привет! Похоже, тебе нужно найти интегралы для каждого из выражений, которые указаны на бумажке.
Для первого интеграла \(\int_2^4 4dx\) ты просто умножаешь константу на разность между верхним и нижним пределами, так как интеграл от константы a по dx это просто \( a*x \). Интеграл будет равен \(4 * (4 - 2) = 8\).
Следующий интеграл \(\int_0^\frac{\pi}{4} \sin x dx\) есть интеграл от синуса, антипроизводная синуса - это минус косинус, поэтому интеграл будет равен \( -\cos x \) от 0 до \(\frac{\pi}{4}\), что равно \( -\cos \frac{\pi}{4} + \cos 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \).
Теперь посмотрим на \(\int_0^1 (6x^2 - 4x - 3)dx\). Здесь работаем почленно: антипроизводная для \(6x^2\) будет \(2x^3\), для \(-4x\) будет \(-2x^2\), и для \(-3\) будет \(-3x\). Интеграл от этого выражения будет \(2x^3 - 2x^2 - 3x\) от 0 до 1, подставляешь верхний и нижний пределы и вычитаешь.
С интегралом \(\int_0^\frac{\pi}{3}2\cos(2x + \frac{\pi}{4})dx\) тебе нужно будет использовать подстановку для упрощения вычислений. Но перед тем как делать подстановку, ты можешь вынести константу 2 за знак интеграла. После подстановки найди антипроизводную и подставь пределы интегрирования.
И наконец, для \(\int_0^2 2e^{2x} dx\) мы опять выносим константу 2 за пределы интеграла, а антипроизводная функции \(e^{2x}\) это \(\frac{e^{2x}}{2}\). Не забудь учесть коэффициент 2 перед экспонентой. Ты домножаешь полученный результат на 2 и находишь значение выражения между пределами интегрирования.
Не забывай оценивать результат по пределам интегрирования, то есть подставлять верхний предел, затем вычитать значение функции при нижнем пределе. Если возникнут трудности или нужно уточнить шаги решения, пиши - помогу!
