.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии вместе.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник, сумма длин катетов которого равна 26 см. Нам нужно найти длины катетов, при которых площадь треугольника будет наибольшей.

Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается как половина произведения катетов. Формула площади: S = (a * b) / 2, где a и b - катеты. Чтобы площадь была максимальной, катеты должны быть как можно более близкими по длине, так как произведение чисел с одинаковыми или близкими значениями больше, нежели одно маленькое и одно большое число.

Обозначим катеты a и b, тогда a + b = 26. Также мы знаем, что a = 26 - b. Мы ищем максимальное значение функции S = (a * b) / 2, или S = ((26-b) * b) / 2.

Для максимальной площади катеты должны быть равны, то есть когда a = b. Получается, если мы подставим a = b в уравнение a + b = 26, мы получим 2a = 26, откуда a = 13. Так как катеты равны, b тоже будет равен 13.

Значит длины катетов, при которых площадь треугольника будет наибольшей, равны 13 см и 13 см.

Теперь вычислим максимальную площадь: S = (13 * 13) / 2 = 169 / 2 = 84.5 см².

Ответ: катеты равны 13 см и 13 см, максимальная площадь равна 84.5 см².