Наибольшее и наименьшее значение
Привет! Давай вместе решим эту задачу. Наша цель — найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = 12x - x^3 \) на отрезке \([-2, 2]\).
Чтобы решить эту проблему, мы выполним следующие шаги:
- Найдём критические точки функции \( f(x) \) на интервале \(( -2, 2 )\), дифференцируя функцию и приравняв её производную к нулю.
- Вычислим значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка \([-2, 2]\).
- Определим, какие из полученных значений являются наибольшим и наименьшим.
Начнём с нахождения производной функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 12 - 3x^2 \]
Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 12 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm2 \]
Точки \( x = -2 \) и \( x = 2 \) находятся на границах заданного отрезка, так что других критических точек внутри отрезка нет.
Теперь вычислим значение функции на концах отрезка и в любых критических точках внутри отрезка, если они есть.
- \( f(-2) = 12(-2) - (-2)^3 = -24 - (-8) = -16 \)
- \( f(2) = 12(2) - 2^3 = 24 - 8 = 16 \)
Получается, что наибольшее значение функции на отрезке \([-2, 2]\) равно \(16\), а наименьшее равно \(-16\).
Это и есть наши искомые значения. Надеюсь, мой пошаговый разбор помог тебе понять, как решить эту задачу. Если что-то непонятно, не стесняйся спросить!
