В годовой контрольной работе пять задач, в каждой из которых четыре варианта ответа точка Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы два задания. Ваня плохо подготовился к контрольной работе и решил расставить ответы в задачах наугад. в этом случае вероятность успеха ставит 1/4 Какова вероятность того что Ваня не пойдёт на передачу?

Для решения этой задачи нам нужно вычислить вероятность того, что Ваня не отправится на пересдачу, то есть справится хотя бы с двумя задачами из пяти, отвечая наугад.

Давайте найдем вероятность того, что Ваня решит ровно 2 задачи правильно, используя сочетания. Для двух верно решенных задач из пяти можно составить \( C_2^5 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \) вариантов.

Для каждого из этих вариантов Ваня угадает два ответа правильно, а три – неправильно. Вероятность угадать правильный ответ – 1/4, вероятность угадать неправильный ответ – 3/4. Поэтому вероятность угадать два правильных ответа, если у нас 10 вариантов расстановки ответов, равна \(10 \times \left( \frac{1}{4} \right)^2 \times \left( \frac{3}{4} \right)^3\).

Теперь мы можем найти общую вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, учитывая, что он решил верно хотя бы два задания. Это означает, что Ваня решит 2, 3, 4 или 5 задач правильно. Поэтому мы должны сложить вероятности этих случаев.

Таким образом, вероятность того, что Ваня не отправится на пересдачу, составляет \(10 \times \left( \frac{1}{4} \right)^2 \times \left( \frac{3}{4} \right)^3 + 10 \times \left( \frac{1}{4} \right)^3 \times \left( \frac{3}{4} \right)^2 + 5 \times \left( \frac{1}{4} \right)^4 \times \left( \frac{3}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} \right)^5 = \frac{169}{256}\).

Таким образом, вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу, составляет 169/256. Удачи Ване!