Профессор Злобин не хочет ставить положительную оценку студенту Разгуляеву и задаёт ему вопросы до тех пор, пока на очередном вопросе студент не ошибётся. Вероятность правильного ответа на любой вопрос составляет 0,8. Случайная величина Х равна числу вопросов, на которые правильно ответит студент перед тем, как получит двойку. Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины Х. Как вы думаете, какое коли- чество вопросов следует запасти профессору?

Для того чтобы найти дисперсию и стандартное отклонение случайной величины Х, связанной с количеством вопросов, на которые студент ответил правильно до получения двойки, нужно рассмотреть вероятности ответов студента.

Из условия задачи известно, что вероятность, с которой студент ответит правильно на любой вопрос, равна 0,8. Также видно, что профессор задает вопросы до тех пор, пока студент не допустит ошибку (не ответит неправильно), то есть получит двойку.

Давайте обозначим:

• X - случайная величина, равная числу правильных ответов студента до получения двойки.
• p = 0,8 - вероятность правильного ответа студента.
• q = 1 - p = 0,2 - вероятность неправильного ответа студента.

Теперь можно перейти к нахождению дисперсии и стандартного отклонения:

Для X вероятность получить k правильных ответов до получения двойки определяется как: P(X = k) = p^k * q = 0,8^k * 0,2

Далее, дисперсия случайной величины X вычисляется по формуле: D(X) = 1 - p / p^2 = q / p^2

Таким образом, D(X) = 0,2 / 0,8^2 = 0,3125

Стандартное отклонение σ(X) равно квадратному корню из дисперсии: σ(X) = √D(X) = √0,3125 ≈ 0,559

Чтобы определить, сколько вопросов нужно задать профессору, чтобы быть уверенным в получении двойки, можно использовать информацию о дисперсии и стандартном отклонении. Это позволит определить, насколько вероятно, что студент ответит правильно на конкретное количество вопросов.