Реши задание

Привет! На картинке изображён прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Необходимо найти периметр этого треугольника \( P_{\triangle ABC} \), зная, что сторона AB равна 52.

Чтобы найти периметр, нам нужно узнать длину всех трёх сторон треугольника. У нас есть гипотенуза AB = 52. Видно, что вписанный в треугольник круг касается сторон AC и BC в точках, где радиус, опущенный перпендикулярно на сторону, является касательной. Следовательно, отрезки касательных, проведённые из одной точки (например, A или C), равны.

Пусть отрезок от точки A до точки касания с AC будет x. Тогда BC, как отрезок от точки C до точки касания с BC, тоже будет x (так как все касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны). Тогда AC будет равен x + 8 (поскольку радиус окружности равен 8, что дано на картинке, и из точки касания до C ещё x).

Теперь используем теорему Пифагора для нахождения длин сторон AC и BC:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( 52^2 = (x + 8)^2 + x^2 \)

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\( 2704 = x^2 + 16x + 64 + x^2 \)

\( 2704 = 2x^2 + 16x + 64 \)

Теперь перенесем все в левую сторону уравнения и получим квадратное уравнение:

\( 2x^2 + 16x + 64 - 2704 = 0 \)

\( 2x^2 + 16x - 2640 = 0 \)

Упростим уравнение, разделив его на 2:

\( x^2 + 8x - 1320 = 0 \)

Найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого вычислим дискриминант \( D \):

\( D = b^2 - 4ac \)

\( D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1320) \)

\( D = 64 + 5280 \)

\( D = 5344 \)

Теперь найдем корень из дискриминанта:

\( \sqrt{D} = \sqrt{5344} = 73 \)

Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два корня:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\( x_{1,2} = \frac{-8 \pm 73}{2} \)

\( x_1 = \frac{-8 + 73}{2} = \frac{65}{2} = 32.5 \)

\( x_2 = \frac{-8 - 73}{2} = \frac{-81}{2} \) (отрицательное значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Итак, x равен 32.5. Значит AC = x + 8 = 32.5 + 8 = 40.5 и BC = x = 32.5.

Теперь, когда мы знаем длину всех сторон, найдем периметр \( P_{\triangle ABC} \):

\( P_{\triangle ABC} = AB + AC + BC \)

\( P_{\triangle ABC} = 52 + 40.5 + 32.5 \)

\( P_{\triangle ABC} = 125 \)

Периметр треугольника ABC равен 125.