Исследовать сходимость ряда.найти как ведёт себя ряд на концах судимости (сходиться абсолютно, сходиться неабсолюно, расходиться) в точках Х= -1 и Х=5

Question 1

Задача Задача №897067

А

Аноним

18 апреля 2024 23:20 · публичный вопрос

А

Аноним 18 апреля 2024 23:20

Исследовать сходимость ряда.найти как ведёт себя ряд на концах судимости (сходиться абсолютно, сходиться неабсолюно, расходиться) в точках Х= -1 и Х=5

Answer

Привет! Давай разберемся с этим рядом. На картинке у нас ряд с общим членом \((x-2)^k / (3^{k}*(k+1))\). Нам нужно исследовать сходимость этого ряда и его поведение в точках x = -1 и x = 5.

Для начала проведем исследование сходимости ряда в общем случае, не учитывая конкретные точки.

Проверим абсолютную сходимость. Применим признак сравнения или признак Даламбера. Для этого ряда более удобно будет использовать признак Даламбера: \[ \lim_{{k \to \infty }} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \lim_{{k \to \infty }} \left| \frac{(x-2)^{k+1} / (3^{k+1}*(k+2))}{(x-2)^k / (3^{k}*(k+1))} \right| = \lim_{{k \to \infty }} \left| \frac{x-2}{3} \cdot \frac{k+1}{k+2} \right|, \] если \( |x-2|/3 < 1\), то ряд абсолютно сходится.
Рассмотрим условную сходимость с помощью признака Лейбница, так как у нас знакопеременный ряд: \[ (-1)^k \cdot \frac{(x-2)^k}{3^{k}*(k+1)}. \] Здесь нужно проверить, что предел общего члена стремится к нулю при \( k \to \infty \), и что последовательность общих членов монотонно убывает по модулю.

Теперь рассмотрим поведение ряда в точках x = -1 и x = 5 более детально:

Для x = -1: \[ \left| \frac{(-1-2)^k}{3^{k}*(k+1)} \right| = \left| \frac{(-3)^k}{3^{k}*(k+1)} \right| = \frac{1}{k+1}, \] этот ряд — ряд обратных чисел, который расходится.

Для x = 5: \[ \left| \frac{(5-2)^k}{3^{k}*(k+1)} \right| = \left| \frac{3^k}{3^{k}*(k+1)} \right| = \frac{1}{k+1}, \] тоже получается ряд обратных чисел, который расходится.

Таким образом, для x = -1 ряд условно сходится, поскольку это ряд Лейбница с необходимыми условиями. Для x = 5 ряд условно сходится по тем же причинам.

А теперь еще раз вокруг да около: для абсолютной сходимости нам нужно значение \( |x-2|/3 < 1 \), то есть \( |x-2| < 3 \). Это означает, что -1 входит в область абсолютной сходимости, а 5 нет.

Так что для x = -1 ряд абсолютно сходится, а для x = 5 условно сходится. Надеюсь, теперь тебе будет понятнее, как исследовать такие ряды!

Question 2

исследовать сходимость ряда.найти как ведёт себя ряд на концах судимости (сходиться абсолютно, сходиться неабсолюно, расходиться) в точках Х= -1 и Х=5

Answer

Привет! Давай разберемся с этим рядом. На картинке у нас ряд с общим членом \((x-2)^k / (3^{k}*(k+1))\). Нам нужно исследовать сходимость этого ряда и его поведение в точках x = -1 и x = 5. Для начала проведем исследование сходимости ряда в общем случае, не учитывая конкретные точки. 1. Проверим абсолютную сходимость. Применим признак сравнения или признак Даламбера. Для этого ряда более удобно будет использовать признак Даламбера: \[ \lim_{{k \to \infty }} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \lim_{{k \to \infty }} \left| \frac{(x-2)^{k+1} / (3^{k+1}*(k+2))}{(x-2)^k / (3^{k}*(k+1))} \right| = \lim_{{k \to \infty }} \left| \frac{x-2}{3} \cdot \frac{k+1}{k+2} \right|, \] если \( |x-2|/3 < 1\), то ряд абсолютно сходится. 2. Рассмотрим условную сходимость с помощью признака Лейбница, так как у нас знакопеременный ряд: \[ (-1)^k \cdot \frac{(x-2)^k}{3^{k}*(k+1)}. \] Здесь нужно проверить, что предел общего члена стремится к нулю при \( k \to \infty \), и что последовательность общих членов монотонно убывает по модулю. Теперь рассмотрим поведение ряда в точках x = -1 и x = 5 более детально: Для x = -1: \[ \left| \frac{(-1-2)^k}{3^{k}*(k+1)} \right| = \left| \frac{(-3)^k}{3^{k}*(k+1)} \right| = \frac{1}{k+1}, \] этот ряд — ряд обратных чисел, который расходится. Для x = 5: \[ \left| \frac{(5-2)^k}{3^{k}*(k+1)} \right| = \left| \frac{3^k}{3^{k}*(k+1)} \right| = \frac{1}{k+1}, \] тоже получается ряд обратных чисел, который расходится. Таким образом, для x = -1 ряд условно сходится, поскольку это ряд Лейбница с необходимыми условиями. Для x = 5 ряд условно сходится по тем же причинам. А теперь еще раз вокруг да около: для абсолютной сходимости нам нужно значение \( |x-2|/3 < 1 \), то есть \( |x-2| < 3 \). Это означает, что -1 входит в область абсолютной сходимости, а 5 нет. Так что для x = -1 ряд абсолютно сходится, а для x = 5 условно сходится. Надеюсь, теперь тебе будет понятнее, как исследовать такие ряды!