Номер 16

Давай решим задачу номер 16.

Нам дан центральный угол AOB, равный 60°, который опирается на дугу AB окружности. Также известно, что хорда AB равна 4. Нам нужно найти радиус окружности.

Итак, для центрального угла, который опирается на хорду, величина дуги AB также будет равна 60°. Так как хорда и дуга лежат в основании равностороннего треугольника, который можно вписать в этот сектор окружности, хорда также будет одной из его сторон. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а радиусы, проведенные к вершинам, будут высотами и медианами.

Чтобы найти радиус, воспользуемся свойством равностороннего треугольника, где высота h делит его на два равных 30-60-90 треугольника. В таком правильном треугольнике соотношение между длиной противолежащего катета к углу в 60° (который в два раза меньше гипотенузы, то есть радиуса r) и прилежащего катета (1/2 хорды, то есть 2) составляет \(\sqrt{3}\) : 1. Получается уравнение: \[ r / 2 = 2 \sqrt{3} \]

Теперь решим это уравнение для r: \[ r = 4 \sqrt{3} \]

Значит, радиус окружности равен \(4\sqrt{3}\).