Теңсіздікті интервалдар әдісімен шешіңдер
Привет! Давай вместе решим эту задачу на интервалы. Ты уже знаешь, что это значит находить интервалы, где функция принимает положительные или отрицательные значения? Если что, я объясню.
Нам нужно решить теңсіздік (неравенство) \( \frac{3x^2 - 5x + 2}{x^2 - 9} \geq 0 \).
Сначала найдём корни числителя и знаменателя, то есть решим уравнения \( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \) и \( x^2 - 9 = 0 \).
Решив эти квадратные уравнения, мы найдём точки, которые разделят числовую ось на интервалы.
Дальше определим знаки на этих интервалах. Важно помнить, что в знаменателе не может быть нуля, поэтому точки, которые являются корнями знаменателя, будут точками разрыва нашей функции и не включаются в интервалы решения.
Наконец, выберем интервалы, на которых функция принимает неотрицательные значения (больше или равно нулю), и это будет наше решение.
Теперь, переходим к решению. Сначала найдём корни числителя и знаменателя.
Для числителя: \( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \) - квадратное уравнение, корни которого мы найдем через дискриминант:
\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \)
Корни уравнения будут: \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = 1 \) \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3} \)
Для знаменателя: \( x^2 - 9 = 0 \) превращается в \( (x - 3)(x + 3) = 0 \), откуда \( x = 3 \) и \( x = -3 \).
Так как \( x = 3 \) и \( x = -3 \) являются корнями знаменателя, они будут точками разрыва функции.
Теперь расставим точки на числовой оси и определим знаки на каждом интервале, не забыв про точки разрыва. После чего, выбираем интервалы, где функция будет неотрицательной.
Итак, ось разделится на интервалы: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, \frac{2}{3}) \), \( (\frac{2}{3}, 1) \), \( (1, 3) \) и \( (3, +\infty) \). Ищем знаки на этих интервалах, смотрим где функция будет больше или равна нулю, и эти интервалы будут являться ответом. Не забудем, что точки -3 и 3 включать в решение нельзя, так как это точки разрыва.
Вот и всё! Теперь ты можешь самостоятельно определить, на каких интервалах функция положительна, а на каких отрицательна, и правильно записать ответ. Если что-то будет непонятно, я всегда готов подсказать!
