Решите А4

Хорошо, давай разбираться с этой задачей. На фото у нас задача А4:

Надо найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если четвертый член равен \(\frac{1}{24}\), а знаменатель равен \(2\).

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых (начиная со второго) получается из предыдущего умножением на определенное число, называемое знаменателем.

Чтобы найти сумму шести первых членов, нам нужно сначала определить первый член геометрической прогрессии. Мы знаем, что четвертый член \(b_4 = \frac{1}{24}\), и знаменатель \(q = 2\). По формуле \(b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\) мы можем выразить первый член:

\(b_4 = b_1 \cdot q^{(4-1)}\)

\(\frac{1}{24} = b_1 \cdot 2^{3}\)

\(\frac{1}{24} = b_1 \cdot 8\)

Теперь находим \(b_1\):

\(b_1 = \frac{1}{24 \cdot 8}\)

\(b_1 = \frac{1}{192}\)

Теперь, когда у нас есть первый член, мы можем использовать формулу суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}\)

Найдем сумму первых шести членов:

\(S_6 = \frac{1}{192} \cdot \frac{2^6 - 1}{2 - 1}\)

\(S_6 = \frac{1}{192} \cdot \frac{64 - 1}{1}\)

\(S_6 = \frac{1}{192} \cdot 63\)

\(S_6 = \frac{63}{192}\)

Сокращаем дробь на 3:

\(S_6 = \frac{21}{64}\)

Итак, ответ: сумма шести первых членов геометрической прогрессии равна \(\frac{21}{64}\).