Вычислить предел с помощью правила ллпиталя

Привет! Давай вместе решим этот предел. Итак, у нас есть предел:

lim (x -> ∞) (ln(3 + 2x))^2 / (x + 1).

Чтобы применить правило Лопиталя, сначала нужно проверить форму предела. В данном случае, когда x стремится к бесконечности, и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности, то есть у нас форма ∞/∞, которая позволяет применить правило Лопиталя.

Теперь дифференцируем верх и низ:

Производная верха (ln(3 + 2x))^2 будет 2 * ln(3 + 2x) * (1/(3 + 2x)) * 2 (цепное правило производной), или упрощая, 4ln(3 + 2x)/(3 + 2x). Производная низа (x + 1) будет просто 1.

Теперь наш предел выглядит так:

lim (x -> ∞) [4ln(3 + 2x)/(3 + 2x)] / 1.

Замечаем, что этот предел теперь стремится к 0, так как логарифм растет медленнее, чем линейная функция в знаменателе. То есть наш предел равен 0.

В итоге, используя правило Лопиталя, предел исходной функции равен 0. Надеюсь, это помогло! Если что-то не понятно, спрашивай, разберем детальнее.