Решить задание

Привет! Давай попробуем разобраться с этим заданием вместе. На картинке видно контрольную работу "Степени с натуральным показателем и её свойства". Чтобы выполнить шестое задание, нужно провести вычисления степеней.

Выполним пункт а) задания 6 - \( \frac{3^9 \cdot 9^5}{27^6} \).

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней. Вспоминаем, что \( a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n} \) и что \( (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n} \), а также \( a^{m} \div a^{n} = a^{m-n} \) и \( (ab)^n = a^n b^n \).

1. Заметим, что 9 и 27 - это степени числа 3: \( 9 = 3^2 \) и \( 27 = 3^3 \).
2. Теперь подставим их в исходное выражение: \( \frac{3^9 \cdot (3^2)^5}{(3^3)^6} \).
3. Применим свойства степеней: \( \frac{3^9 \cdot 3^{10}}{3^{18}} \).
4. Складываем показатели в числителе: \( 3^{9+10} = 3^{19} \).
5. Делим степени с одинаковыми основаниями: \( 3^{19} \div 3^{18} = 3^{19-18} = 3^1 = 3 \).

Ответ на пункт а): \( 3 \).

Теперь приступим к пункту б).

Вычислим \( \frac{9^{5,5}}{6^{10}} \).

Для удобства приведём 6 к степени двойки, чтобы легче было работать с числителем, где у нас 9, так как \( 9 = 3^2 \).

Следуя этой логике: \( 6 = 2 \cdot 3 \), преобразуем выражение дальше.

1. \( 9^{5,5} = (3^2)^{5,5} = 3^{11} \), вспомнили, что при возведении степени в степень показатели перемножаются.
2. \( 6^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 2^{10} \cdot 3^{10} \), используем свойство \( (ab)^n = a^n b^n \).
3. Теперь разделим одно на другое: \( \frac{3^{11}}{2^{10} \cdot 3^{10}} \).
4. \( 3^{10} \) сокращается и остается \( \frac{3}{2^{10}} \).

Ответ на пункт б): \( \frac{3}{2^{10}} \) или \( \frac{3}{1024} \).

Надеюсь, что объяснение помогло тебе понять, как решать такие задачи. Если нужно решить ещё какие-то пункты или что-то непонятно, спрашивай!