Вычислить предел с помощью правила лопиталя

Привет! Давай посмотрим на твою задачу. Нам нужно вычислить предел функции при x стремящемся к бесконечности. Вот функция:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{{2^{\frac{1}{x}} - 1}}{{\pi - 2 \cdot \text{arctg}(x)}} \]

Использовать правило Лопиталя можно, когда предел функции в числителе и знаменателе стремится к 0 или бесконечности. Так что первым делом, давай проверим, к чему стремятся числитель и знаменатель:

В числителе: \[ 2^{\frac{1}{x}} - 1 \text{ при } x \to +\infty \text{ стремится к } 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0 \]

В знаменателе: \[ \pi - 2 \cdot \text{arctg}(x) \text{ при } x \to +\infty \text{ стремится к } \pi - 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi - \pi = 0 \]

Так как и числитель, и знаменатель стремятся к 0, мы можем применить правило Лопиталя, дифференцируем числитель и знаменатель по x:

Производная числителя: \[ (2^{\frac{1}{x}})' = 2^{\frac{1}{x}} \cdot \ln(2) \cdot (-x^{-2}) \]

Производная знаменателя: \[ (\pi - 2 \cdot \text{arctg}(x))' = -2 \cdot \frac{1}{1+x^2} \]

Теперь заменим производные в пределе: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{{-2^{\frac{1}{x}} \cdot \ln(2) \cdot (-x^{-2})}}{{-2 \cdot \frac{1}{1+x^2}}} \]

Упростив, получим:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{{2^{\frac{1}{x}} \cdot \ln(2) \cdot x^{-2}}}{{\frac{1}{1+x^2}}} \]

Давай упростим это выражение:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{{\ln(2)}}{{x^{2} + 1}} \cdot 2^{\frac{1}{x}} \cdot x^2 \]

Теперь видно, что при \( x \to +\infty \) выражение \( 2^{\frac{1}{x}} \) стремится к 1, а выражение \( \frac{{x^2}}{{x^{2} + 1}} \) стремится к 1, так как степени числителя и знаменателя равны:

\[ \lim_{x \to +\infty} 1 \cdot \ln(2) \cdot 1 = \ln(2) \]

Таким образом, предел исходной функции равен \(\ln(2)\).

Надеюсь, это помогло! Если что-то не ясно, не стесняйся спросить.