Реги

На картинке мы видим задачу по решению квадратного неравенства с параметром \( t \). Нам необходимо найти значения параметра \( t \), при котором неравенство \( x^2 + 3x + t \ge 10 \) имеет различные множества решений. Неравенство можно преобразовать к виду \( x^2 + 3x + (t - 10) \ge 0 \).

Шаг 1: Найти дискриминант квадратного трёхчлена: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (t - 10) = 9 - 4t + 40 = 49 - 4t \).

Шаг 2: Выяснить, при каких условиях дискриминант положительный, равен нулю или отрицательный:

1. Если \( D > 0 \), то уравнение имеет два различных вещественных корня, и, соответственно, неравенство имеет решение в виде двух интервалов. Значит, \( t \) должен удовлетворять условию \( 49 - 4t > 0 \), откуда \( t < \frac{49}{4} \). В первом пункте нам нужно найти правую границу интервала, следовательно, в первый пропуск вписываем \( \frac{49}{4} \).

2. Если \( D = 0 \), то уравнение имеет одно вещественное корневое значение (кратности два), значит, неравенство принимает значения на всей числовой прямой, за исключением этого корня. Таким образом, \( t \) удовлетворяет уравнению \( 49 - 4t = 0 \), откуда \( t = \frac{49}{4} \). Это и есть значение для второго пропуска.

3. Если \( D < 0 \), уравнение не имеет вещественных корней, и весь трёхчлен сохраняет знак свободного коэффициента при x^0, который равен \( t - 10 \). Так как неравенство — нестрогое, то если \( t - 10 \ge 0 \), то есть \( t \ge 10 \), вся числовая прямая будет являться решением; а если \( t - 10 < 0 \), то есть \( t < 10 \), то решений не будет. Так как \( 10 > \frac{49}{4} \), то это условие выполняется при любом \( t \), для которого \( t < \frac{49}{4} \), что совпадает с первым пунктом. Значит, в третий пропуск вписываем \( \frac{49}{4} \).

Подведём итоги:

1. \( t \in \left( -\infty; \frac{49}{4} \right) \), множество решений: \( x \in \left( -\infty; \frac{-3 - \sqrt{49 - 4t}}{2} \right] \cup \left[ \frac{-3 + \sqrt{49 - 4t}}{2}; +\infty \right) \).
2. \( t = \frac{49}{4} \), множество решений: все действительные числа за исключением одной точки (\( x = -\frac{3}{2} \)).
3. \( t \in \left( -\infty; \frac{49}{4} \right) \), и также \( t = 10 \) для случая, когда квадратный трёхчлен положителен на всей числовой прямой.

Таким образом, заполненные ответы в тесте должны выглядеть так:

1. \( \frac{49}{4} \)
2. \( \frac{49}{4} \)
3. \( \frac{49}{4} \)