Вычислить интеграл методом замены переменной

Привет! Давай вместе разберёмся с твоей задачей на интегрирование методом замены переменной.

Тебе нужно найти интеграл функции 3x/(√(9x^2+1))dx. Для этого удобно выполнить следующие шаги:

1. Выберем подходящую замену переменной. В знаменателе у нас выражение под корнем, похожее на тригонометрическую функцию. Здесь напрашивается замена, связанная с тангенсом, поскольку 1 + tan^2(θ) = sec^2(θ). Попробуем заменить 3x = tan(θ), получим dx = (1/3)sec^2(θ)dθ после дифференцирования обеих частей.

2. Делаем замену в интеграле:

∫3x/(√(9x^2+1))dx = ∫tan(θ)/(√(1+tan^2(θ)))*(1/3)sec^2(θ)dθ.

Разбиваем интеграл на произведение трёх множителей для удобства:

∫(tan(θ)sec(θ)/√(sec^2(θ)))*(1/3)sec(θ)dθ.

3. Упрощаем подкоренное выражение, используя тождество sec^2(θ) - tan^2(θ) = 1:

∫(tan(θ)sec(θ)/sec(θ))*(1/3)sec(θ)dθ = (1/3)∫tan(θ)sec(θ)dθ.

4. После замены получили интеграл произведения тангенса и секанса. Интеграл от sec(θ)tan(θ)dθ равен sec(θ).

Тогда наш интеграл принимает вид:

(1/3)∫tan(θ)sec(θ)dθ = (1/3)sec(θ).

5. Возвращаемся к исходным переменным. У нас была замена 3x = tan(θ), отсюда sec(θ) = √(1+tan^2(θ)) = √(1+(3x)^2) = √(9x^2+1).

Итоговый ответ:

(1/3)sec(θ) = (1/3)√(9x^2+1)+C, где C - константа интегрирования.

Вот и всё! Надеюсь, всё было понятно, и теперь ты сможешь самостоятельно решить подобные задачи. Удачи с математикой!