Только под б)

Привет! Давай вместе найдём производную функции под б) для каждого номера. Начнём с 42.1:

Функция \( y = (12 - \frac{x}{5})^6 \).

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом нахождения производной степенной функции, которая в данном случае, также включает цепное правило, так как у нас степень выражения, зависящего от \( x \).

Производная \( y \) по \( x \) получается как произведение:

1. производная внешней функции по её аргументу – взять производную от \( u^6 \), где \( u \) - это \( 12 - \frac{x}{5} \). Это даст нам \( 6u^5 \).
2. производная внутренней функции по \( x \) – это просто производная от \( 12 - \frac{x}{5} \) по \( x \), что равно \( -\frac{1}{5} \).

Умножим их:

\[ y' = 6(12 - \frac{x}{5})^5 \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{6}{5}(12 - \frac{x}{5})^5 \]

Вот твоя производная для 42.1 б).

Теперь 42.2 б):

Функция \( y = \cos(\frac{\pi}{3} - 4x) \).

Здесь используем правило дифференцирования сложной функции, так как косинус зависит от линейного выражения \( \frac{\pi}{3} - 4x \). Производная косинуса - это минус синус от того же аргумента, а производная внутренней части \( \frac{\pi}{3} - 4x \) по \( x \) равна \( -4 \). Таким образом:

\[ y' = -\sin(\frac{\pi}{3} - 4x) \cdot (-4) = 4\sin(\frac{\pi}{3} - 4x) \]

И вот ответ для 42.2 б).

Наконец, 42.3 б):

Функция \( y = \sqrt{50 + 0,2x} \).

Это функция корня, которую можно представить как \( (50 + 0,2x)^{\frac{1}{2}} \). Используем аналогичный подход с цепным правилом:

1. Внешняя функция – корень квадратный, его производная от \( u \) будет \( \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} \), где \( u = 50 + 0,2x \).
2. Внутренняя функция – линейная, её производная \( 0,2 \).

Умножаем производные внешней и внутренней функций:

\[ y' = \frac{1}{2}(50 + 0,2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 0,2 = \frac{0,1}{\sqrt{50 + 0,2x}} \]

И вот твоя производная для 42.3 б).

Вот так, шаг за шагом, мы нашли производные функций, данные в задании. Если у тебя возникнут ещё вопросы или нужно помочь с другими примерами – обращайся!