Тип 22 i Постройте график функции и определите, при каких значениях c прямая будет пересекать построенный график в трех точках.
Привет! Вот как мы можем подойти к задаче:
Сначала нам нужно построить график функции, заданной кусочно: \[ y = \begin{cases} \frac{5}{x}, & \text{если } x \leq -1, \\ -x^2 + 4x, & \text{если } x > -1 \end{cases} \]
График \(\frac{5}{x}\) представляет собой гиперболу, ветви которой направлены вверх и вниз в левой части координатной плоскости (где \(x \leq -1\)).
График \(-x^2 + 4x\) - это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина этой параболы находится в точке, где производная равна нулю. То есть, если мы найдем производную \( -2x+4 \) и приравняем ее к нулю: \[ -2x + 4 = 0 \] \[ x = 2 \] Таким образом, вершина параболы находится при \( x = 2 \).
Затем мы должны рассмотреть прямую \( y = c \) и подобрать такое значение \( c \), при котором она будет пересекать построенный график ровно в трех точках. Это означает, что значение \( c \) должно быть таким, чтобы горизонтальная линия \( y = c \) касалась параболы в вершине (одна точка пересечения) и пересекала каждую ветвь гиперболы по одному разу (еще две точки).
Чтобы прямая касалась вершины параболы, \( c \) должно быть равно значению функции в вершине параболы. Подставим \( x = 2 \) в уравнение параболы: \[ y = -(2)^2 + 4 \cdot 2 \] \[ y = -4 + 8 \] \[ y = 4 \]
Таким образом, \( c = 4 \) является одним из значений, при которых прямая \( y = c \) будет касаться параболы в точке \( x = 2 \) и пересекать гиперболу в двух других точках.
Для полного ответа следует детально исследовать поведение графика и прямой \( y = c \), чтобы убедиться, что других значений \( c \), при которых прямая пересекает график ровно трижды, нет.
