На занятии в математическом кружке предложили сыграть в игру и на доске написали некоторое число. По условиям, можно стереть последнюю цифру или прибавить к написанному числу 2019 и записать полученную сумму, при этом стереть предыдущее число. Играет один человек и указанные действия в любом порядке можно выполнять неограниченное число раз. Получится ли при каком-нибудь исходе увидеть на доске число 2? (В ответе запиши да или нет.)

Чтобы решить эту задачу, давай попробуем воспользоваться методом обратного хода. Нам нужно понять, можем ли мы получить число 2, выполняя обратные операции к тем, что описаны в условии. Обычно такой метод помогает увидеть некоторую стратегию, когда прямой подход неочевиден. 1. Начнем с числа 2. Поскольку мы не можем добавить 2019 и получить 2, единственный способ получить 2 - это удалить последнюю цифру из числа оканчивающегося на 2. 2. Чтобы число заканчивалось на 2, перед этим оно должно быть окончено на 12, потому что если мы добавим 2019 к числу, которое заканчивается на 2, мы никогда не получим число, оканчивающееся на 12 (потому что 2 + 9 = 11, и будет перенос). 3. Чтобы получить число, оканчивающееся на 12, нужно или стереть последнюю цифру из числа, оканчивающегося на 112, или прибавить 2019 к числу, оканчивающемуся на 93 (потому что 93 + 2019 = 3012). После этого можно стереть последнюю цифру и получить 12. 4. Применим то же рассуждение: чтобы получить число, оканчивающееся на 93, нужно прибавить 2019 к числу, оканчивающемуся на 74, потому что 74 + 2019 = 2093. 5. Таким образом, мы можем продолжать обратный ход, на каждом шаге либо прибавляя 2019 к числу, оканчивающемуся на цифру на 1 меньше последней цифры в 2019 ( из-за переноса одного), либо удаляя последнюю цифру из числа, оканчивающегося соответствующим образом. Теперь у тебя есть общая стратегия, и ты можешь применить ее, исходя из того, что изначально на доске было написано число, подходящее под этот процесс. Если в ходе "низходящих" шагов мы можем прийти к исходному числу на доске, то ответ будет "Да". Теперь посмотрим, получится ли это. Заметим, что если бы на доске было написано число, оканчивающееся на 4, мы бы могли прибавить 2019 и получить число, оканчивающееся на 3, стереть последнюю цифру и прибавить 2019 ещё много раз, пока не получится число, заканчивающееся на 93, а затем продолжить, как в пункте 3, чтобы в итоге получить 2. Таким образом, если исходное число оканчивалось на 4, то ответ на задачу - "Да". Однако, если на доске изначально было написано любое другое число, мы не достигнем числа 2 через это число, потому что нам нужен очень специфичный путь. Но поскольку в задаче не сказано, что изначально было на доске и какие шаги разрешены, мы можем предположить, что подходящий путь существует. Ответ: Да. Потому что в теории, если бы на доске было написано подходящее число (или мы могли бы его получить в результате операций), мы бы могли получить число 2, используя правила игры.